Ismael Benito

Soy doctorando en ingeniería y profe associado en @UniBarcelona. Como buen catalán hago cosas, concretamente en @recercaprecaria, @EUiAUniversitat y @cjbcn.

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La lotería y la entropía (I)

Divulgación Reflexión

25 Diciembre, 2014

Leí, hace un par de días, coincidiendo con el sorteo navideño de la Lotería, varios tuits de diferentes referentes de izquierda; en todos ellos se trataba la problemática que supone que al final del sorteo de la lotería la cantidad total de dinero que se invierte en el sorteo esté en realidad en menos manos que antes de empezar el sorteo (más allá de los impuestos que recauda hacienda con el negocio).

 

Me gustaría en esta entrada desgranar con algo de matemáticas y física que implica la afirmación “más repartido estaba antes”. Esto, no intenta demostrar o refutar la tesis de la acumulación de riqueza post-lotería, que es argumentalmente lógica; solo que al ser un “científico que vive en la época de la revolución científica” siento la necesidad de expresar de forma matemática estas declaraciones (recomiendo la lectura del blog Batallitas de la Ciencia de un colega que hace llamarse un físico de letras).

 La densidad de probabilidad

Para poder empezar nuestro razonamiento, necesitaremos un marco, un escenario o, también, un sistema. Imaginemos por un momento un Estado donde sea común jugar a la lotería como mínimo una vez al año, situémonos en la piel de un intrépido periodista internacional que aterrice el día anterior al sorteo para entrevistar a cada uno de los 10 millones de habitantes (por suponer números redondos) que jugarán a la lotería el día siguiente para saber qué cantidad de dinero poseen en ese momento en el banco.

Antes de empezar las entrevistas, el periodista no conoce ningún dato sobre los habitantes (o jugadores) de este Estado-sistema. Lo cierto, es que el periodista tiene una cierta probabilidad desconocida para él de en la primera entrevista dar con el señor o señora más rica del Estado, y así, de dar con el más pobre. Al final del día, este super-periodista tendrá una lista de personas y sus ahorros; podrá entonces asignar estas personas por tramos.

En este sentido, contará cuantas personas tienen de 0 a 10€, 10-100€, 100-1000€, 1000-10000€, y así hasta completar los 10 millones de jugadores. Podrá entonces dividir el número de personas en cada tramo por el total del Estado; esto en estadística se llama un densidad de probabilidad. Al final del día, sabe que probabilidad tenía de buena mañana para encontrar un u otro habitante.

El sorteo de la lotería y la mayorización

Con el planteamiento anterior en la cabeza, no es extraño pensar en lo siguiente: si nuestro periodista repitiese el experimento al siguiente de día de celebrar el sorteo, ¿qué distribución se encontraría?

Hecho este planteamiento inicial, toca introducir ahora un concepto puramente matemático: la mayorización. Des de pequeños se nos enseña que podemos ordenar los números, de hecho vivimos ordenando y comparando números (bloques de pisos, calles, números de teléfono…); pero, ¿cómo podemos comparar una distribución de probabilidad con otra? Las clasificaciones “mayor que”, “menor que” o “igual que” (y sus combinaciones) no son válidas.

Se construye entonces el concepto de mayorización. Volviendo a nuestra analogía, nuestro intrépido entrevistador debería ahora ordenar a los jugadores empezando por el que más dinero tuviese (antes de hacer el sorteo), seguido del segundo habitante más rico del Estado, y seguido del tercero, y así hasta llegar al más pobre, cual Vía por la Lotería. Esto no es más que ordenar de mayor a menor nuestra distribución de riqueza, o como hemos apuntado antes, nuestra densidad de probabilidad. Tomaría nota. Y pasado el sorteo repetiría el proceso. Tomaría nota.

Ahora hay que cocinar estos datos. Se dice que una distribución de probabilidad (A) mayoriza a otra (B) cuando: el más rico en A es mas rico que el mas rico en B, pero también se tiene que la suma de fortunas de los dos mas ricos de A es mayor que la suma de los primeros de B; y así, hasta completar las sumas añadiendo en cada paso un habitante más. Cabe notar aquí que esto no implica que el más rico sea el mas rico antes y después, así como el más pobre, estamos comparando las posiciones que ocupan las riquezas.

Sí, pero entonces ¿qué distribución se encontrará el periodista después del sorteo?

La lotería y la entropía (II)

 

 

  

Ismael Benito Altamirano.
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